• Introducir de manera práctica el concepto de variable latente.
• Identificar el problema que resuelve el ACM.
• Implementar el Análisis de Correspondencias Múltiples con la función FactoMineR::MCA() en R.

• Hasta ahora en el curso hemos trabajado con un tipo de variables: las variables observadas.
  • Registran atributos directamente medibles de un objeto estadístico.
  • Ejp. respuestas a un ítem de un cuestionario.
• Sin embargo, algunos conceptos centrales de las ciencias sociales no son directamente medibles.
  • El desarrollo, el gusto, la inteligencia (¿?).
• Podemos inferirlos a partir de un set de variables observadas.
  • O considerarlos la causa del comportamiento de las variables observadas.

• El primer abordaje es el análisis de tablas de contingencia.
  • Incluyendo las pruebas de bondad del ajuste con respecto a un modelo de independencia.

## Number of cases in table: 1082 
## Number of factors: 2 
## Test for independence of all factors:
##  Chisq = 4.256, df = 1, p-value = 0.0391

• El número de dimensiones de la tabla es aumenta con cada variable.
• El número de celdas cruzadas aumenta exponencialmente con el número de categorías.
  • En este ejemplo con 11 variables dicotómicas es 2¹¹: 2048 posibles combinaciones.¹
    
  • Aunque no todas están observadas en un conjunto de datos empírico.
  • En nuestro ejemplo hay 219 patrones de respuesta diferentes.

Intentémoslo apoyados en un gráfico de mosaico, cortesía de Michael Friendly.

Sintáxis

vcd::mosaic(tabla, shade=T, main="Título")

• El problema de las tablas de contingencia multidimensionales es exactamente el gran número de dimensiones.
• El ACM atiende ese problema reduciendo la dimensionalidad.
  • Identifica coordenadas principales que dan cuenta, en orden decreciente, de la mayor variabilidad posible de los datos.
• Matemáticamente es la descomposición de valores singulares de la matriz de residuos \(\chi~2\).
  • Aunque hay varias formulaciones matemáticas del ACM.
  • Formulación geométrica. Como matriz de distancias.
  • Formulación correlacional. Como un problema de correlación canónica. ## El resultado es un sistema de coordenadas que "ordena" a las categorías y a los individuos por similitud/diferencia en varias dimensiones.

• A diferencias de los lm el ACM no tiene supuestos distribucionales, pero tiene algunas condiciones que debemos atender.

• Un conjunto de variables categóricas
  • En R codificadas con el tipo factor
• Que, para un tema de interés, son:
  • Homogéneas.
    • Miden indirectamente un mismo atributo.
    • Que deberíamos definir previamente de manera teórica.
  • Exhaustivas.
    • Son suficientes para caracterizar el fenómeno o estructura de interés.

• Preferentemente con una distribución balanceada: ninguna categoría tiene una n muy pequeña.

• Hay varias funciones para realizar ACM en R.
  • CA::mjca, MASS::mca, homals::homals(), FactoMineR::MCA()
• Utilizamos FactoMineR::MCA() porque en conjunción con factoextra:: da las mejores salidas gráficas estandar.
• CA::mjca implementa el Joint Multiple Correspondence Analysis.
  • Estima las mismas coordenadas, pero calcula con más precisión los valores propios (varianza explicada).
• factoextra:: tiene funciones para graficar las cantidades de interés: nubes, varianzas explicada, contribución de las categorías.
  • De todos modos podemos extraer la información de objeto MCA y generar los gráficos.
• Ninguna de estas funciones usa sintaxis de fórmula. :-(

MCA(data.frame, ncp=5, quali.sup=c(12, 13, 14)), graph=FALSE

• Donde: data.frame es la estructura de datos que contiene las variables.
  • Deben ser del tipo factor.
• ncp= es el número de dimensiones que conservamos. Por defecto 5.
• quali.sup es un vector numérico con los números de índice de las columnas suplementarias, de las que hablare luego.
• graph=FALSE para evitar que imprima el –inútil– gráfico por defecto.

MCA() produce una lista de la clase MCA con toda la información del análisis.

## Nube de las categorías.

• Dado el criterio de homogeneidad no es apropiado incluir en el set de variables de interés.
  • "Deformarían" el sistema de coordenadas.
• Para analizar la correspondencia entre las variables de interés y otras podemos incluirlas en el análisis como variables suplementarias.
  • Se mapean en el sistema de coordenadas de las de interés, pero tienen contribución 0 en su definición.
• Podemos pensarlas, por analogía al lenguaje de lm, como variables independientes.
  • Aunque el ACM es completamente simétrico.